미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 성질 보기

문제

무한수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, α\alpha는 상수) [3점]

<보 기>
ㄱ.lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \alpha, lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = 0이면 lim⁡n→∞anbn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} b _{n} = 0이다. ㄴ.lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \alpha, lim⁡n→∞(an−bn)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} - b _{n} ) = 0이면 lim⁡n→∞bn=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = \alpha이다. ㄷ.lim⁡n→∞an=∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \infty, lim⁡n→∞(an−bn)=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} - b _{n} ) = \alpha이면 lim⁡n→∞bnan=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{b _{n}}{a _{n}} = 1이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한의 성질을 이해하기 ㄱ. lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn=α⋅0=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} \cdot \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = \alpha \cdot 0 = 0 ㄴ. an−bn=cna _{n} - b _{n} = c _{n}이라 놓으면 bn=an−cnb _{n} = a _{n} - c _{n}이므로 lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞(an−cn)=lim⁡n→∞an−lim⁡n→∞cn=α−0=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{n} - c _{n} ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} c _{n} = \alpha - 0 = \alpha ㄷ. an−bn=cna _{n} - b _{n} = c _{n}이라 놓으면 bn=an−cnb _{n} = a _{n} - c _{n}이므로 lim⁡n→∞bnan=lim⁡n→∞an−cnan=lim⁡n→∞(1−cnan)=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{b _{n}}{a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} - c _{n}}{a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( 1 - \frac{c _{n}}{a _{n}} \right) = 1

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