수열 극한 성질

[출제의도] 수열의 극한에 관한 성질을 이해하고, 여러 가지 상황에 따른 문제해결능력을 측정한다. ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{n} + 2 ) = \alpha$ 라고 하면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ ( a _{n} + 2 ) - 2 \right\} = \alpha - 2$ ∴ 참 ㄴ. [반례] $a _{n} = ( - 1 ) ^{n}$ 이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} | a _{n} | = 1$ 이지만 $\left\{ a _{n} \right\}$은 진동하므로 발산한다. ∴ 거짓 ㄷ. $\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} | a _{n} |$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} | a _{n} | = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} | a _{n} | = 0$ 이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( - | a _{n} | ) = 0$ 이므로 $- | a _{n} | \leq a _{n} \leq | a _{n} |$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 0$ ∴참