미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 성질

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 다음 중 옳은 것은? [3점] ①lim⁡n→∞an2=9\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} ^{2} = 9이면 lim⁡n→∞an=3\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = 3이다.②an<bna _{n} < b _{n}이면 lim⁡n→∞an<lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} < \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n}이다.③lim⁡n→∞∣an∣\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left| a _{n} \right|이 수렴하면 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = 0이다.④lim⁡n→∞(3n+1)an=6\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( 3 n + 1 \right) a _{n} = 6이면 lim⁡n→∞nan=2\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} n a _{n} = 2이다.⑤lim⁡n→∞an=1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = 1이면 무한급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n}은 수렴한다.

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④

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해설

[출제의도] 수열의 극한에 관한 성질 이해하기 ① an=−3nn+1\displaystyle a _{n} = \frac{- 3 n}{n + 1}이라 하면,lim⁡n→∞(−3nn+1)2=9\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{- 3 n}{n + 1} \right) ^{2} = 9 그러나, lim⁡n→∞−3nn+1=−3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{- 3 n}{n + 1} = - 3이다. ∴ 거짓 ② an=1−1n,bn=1+1n\displaystyle a _{n} = 1 - \frac{1}{n} , b _{n} = 1 + \frac{1}{n}이라 하면 lim⁡n→∞(1−1n)=lim⁡n→∞(1+1n)=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = 1이므로 성립하지 않는다. ∴ 거짓 ③ an=−nn+1\displaystyle a _{n} = \frac{- n}{n + 1}이라 하면 lim⁡n→∞∣−nn+1∣=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| \frac{- n}{n + 1} \right| = 1 그러나, lim⁡n→∞−nn+1=−1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{- n}{n + 1} = - 1 ∴ 거짓 ④ lim⁡n→∞nan=lim⁡n→∞n3n+1(3n+1)an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} na _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{3 n + 1} ( 3 n + 1 ) a _{n} =lim⁡n→∞n3n+1lim⁡n→∞(3n+1)an=13×6=2\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{n}{3 n + 1} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( 3 n + 1 ) a _{n} = \frac{1}{3} \times 6 = 2 ∴ 참 ⑤ lim⁡n→∞an=1≠0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 1 \ne 0이므로∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} a _{n}는 발산한다. ∴ 거짓

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#수열의 극한#급수

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