미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 성질

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞ann+1=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n + 1} = 3}일 때, lim⁡n→∞(2n+1)an3n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( 2 n + 1 ) a _{n}}{3 n ^{2}}}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

[출제의도] 수열의 극한 이해하기 ann+1=bn\displaystyle \frac{a _{n}}{n + 1} = b _{n}이라 하면 an=(n+1)bna _{n} = ( n + 1 ) b _{n}이고 lim⁡n→∞bn=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = 3} ∴lim⁡n→∞(2n+1)an3n2=lim⁡n→∞(2n+1)(n+1)bn3n2=lim⁡n→∞(2n+1)(n+1)3n2×lim⁡n→∞bn=23×3=2\displaystyle \begin{aligned} \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( 2 n + 1 ) a _{n}}{3 n ^{2}} =} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) b _{n}}{3 n ^{2}}} \\ = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( 2 n + 1 ) ( n + 1 )}{3 n ^{2}}} \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} \\ = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \end{aligned}

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