수열 극한 샌드위치

$3 n ^{2} + 2 n < a _{n} < 3 n ^{2} + 3 n$의 양변에 $\displaystyle \frac{5}{n ^{2} + 2 n}$를 곱하면 $\displaystyle \frac{5 \left( 3 n ^{2} + 2 n \right)}{n ^{2} + 2 n} < \frac{5 a _{n}}{n ^{2} + 2 n} < \frac{5 \left( 3 n ^{2} + 3 n \right)}{n ^{2} + 2 n}$이다. 양변에 $n$을 한없이 크게 하는 극한을 취하면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 \left( 3 n ^{2} + 2 n \right)}{n ^{2} + 2 n}} = 15 , \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 \left( 3 n ^{2} + 3 n \right)}{n ^{2} + 2 n} = 15}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 a _{n}}{n ^{2} + 2 n}} = 15$이다.