미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 조건

문제

모든 자연수 nn에 대하여 두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 다음 조건을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [3점]

(가) 3n2+1<(2+4+6+⋯+2n)an3 n ^{2} + 1 < ( 2 + 4 + 6 + \cdots + 2 n ) a _{n} (나) bn<6−2anb _{n} < 6 - 2 a _{n} (다) 무한급수 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}이 수렴한다.

①33②103\displaystyle \frac{10}{3}③113\displaystyle \frac{11}{3}④44⑤133\displaystyle \frac{13}{3}

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①

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해설

(가)에서 3n2+1n(n+1)<an\displaystyle \frac{3 n ^{2} + 1}{n ( n + 1 )} < a _{n}이고 (나)에서 an<3−12bn\displaystyle a _{n} < 3 - \frac{1}{2} b _{n}이므로 3n2+1n(n+1)<an<3−bn2\displaystyle \frac{3 n ^{2} + 1}{n ( n + 1 )} < a _{n} < 3 - \frac{b _{n}}{2}이다. 한편, lim⁡n→∞3n2+1n(n+1)≤lim⁡n→∞an≤lim⁡n→∞(3−bn2)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 n ^{2} + 1}{n ( n + 1 )}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \left( 3 - \frac{b _{n}}{2} \right. \right)}이고 (다)에서 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = 0}이므로 3≤lim⁡n→∞an≤3\displaystyle 3 \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} \leq 3이다. 따라서 lim⁡n→∞an=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 3

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#수열의 극한#급수의 수렴

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