미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 계산

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞ann=13\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n} = \frac{1}{3}일 때, lim⁡n→∞9n2+n−nan\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9 n ^{2} + n} - n}{a _{n}}의 값을 구하시오. [3점]

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6

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다. 9n2+n−nan\displaystyle \frac{\sqrt{9 n ^{2} + n} - n}{a _{n}}의 분모, 분자를 각각 nn으로 나누면 9n2+n−nnann\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{9 n ^{2} + n} - n}{n}}{\frac{a _{n}}{n}}=9+1n−1ann\displaystyle = \frac{\sqrt{9 + \frac{1}{n}} - 1}{\frac{a _{n}}{n}} 이때 lim⁡n→∞ann=13\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n} = \frac{1}{3}이고 lim⁡n→∞(9+1n−1)=2\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( \sqrt{9 + \frac{1}{n}} - 1 \right) = 2이므로 lim⁡n→∞9n2+n−nan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\sqrt{9 n ^{2} + n} - n}{a _{n}} =lim⁡n→∞9+1n−1ann\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\sqrt{9 + \frac{1}{n}} - 1}{\frac{a _{n}}{n}} =lim⁡n→∞(9+1n−1)lim⁡n→∞ann\displaystyle = \frac{\lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \sqrt{9 + \frac{1}{n}} - 1 \right)}{\lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n}} =213\displaystyle = \frac{2}{\frac{1}{3}}=6= 6

태그

#수열의 극한

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