미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 대소 관계

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 부등식 2n2−n3n−1<an<2n2+n3n−1\displaystyle \frac{2 n ^{2} - n}{3 n - 1} < a _{n} < \frac{2 n ^{2} + n}{3 n - 1} 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an2n+3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{2 n + 3}}의 값은? [3점] ①112\displaystyle \frac{1}{12}②16\displaystyle \frac{1}{6}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤512\displaystyle \frac{5}{12}

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④

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해설

[출제의도] 수열의 극한 이해하기 부등식 2n2−n3n−1<an<2n2+n3n−1\displaystyle \frac{2 n ^{2} - n}{3 n - 1} < a _{n} < \frac{2 n ^{2} + n}{3 n - 1}에서 각 변을 (2n+3)\left( 2 n + 3 \right)으로 나누면 2n2−n(3n−1)(2n+3)<an2n+3<2n2+n(3n−1)(2n+3)\displaystyle \frac{2 n ^{2} - n}{\left( 3 n - 1 \right) \left( 2 n + 3 \right)} < \frac{a _{n}}{2 n + 3} < \frac{2 n ^{2} + n}{\left( 3 n - 1 \right) \left( 2 n + 3 \right)} 이다. lim⁡n→∞2n2−n(3n−1)(2n+3)≤lim⁡n→∞an2n+3≤lim⁡n→∞2n2+n(3n−1)(2n+3)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} - n}{\left( 3 n - 1 \right) \left( 2 n + 3 \right)}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{2 n + 3}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} + n}{\left( 3 n - 1 \right) \left( 2 n + 3 \right)}} 이고 lim⁡n→∞2n2−n(3n−1)(2n+3)=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} - n}{\left( 3 n - 1 \right) \left( 2 n + 3 \right)} = \frac{1}{3}}, lim⁡n→∞2n2+n(3n−1)(2n+3)=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} + n}{\left( 3 n - 1 \right) \left( 2 n + 3 \right)} = \frac{1}{3}} 이다. 따라서 lim⁡n→∞an2n+3=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{2 n + 3} = \frac{1}{3}}이다.

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