미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 극한 대소

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 다음 조건을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은?[3점]

(가) 2n3+312+22+32+⋯+n2<an<2bn\displaystyle \frac{2 n ^{3} + 3}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + n ^{2}} < a _{n} < 2 b _{n} (n=1,2,3,⋯ )\left( n = 1 , 2 , 3 , \cdots \right) (나) ∑n=1∞(bn−3)=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( b _{n} - 3 ) = 2

①33②44③55④66⑤77

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④

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기 (가)에서 6(2n3+3)n(n+1)(2n+1)<an<2bn\displaystyle \frac{6 \left( 2 n ^{3} + 3 \right)}{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} < a _{n} < 2 b _{n} lim⁡n→∞6(2n3+3)n(n+1)(2n+1)=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{6 \left( 2 n ^{3} + 3 \right)}{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}} = 6이고, (나)에서 lim⁡n→∞bn=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 3, lim⁡n→∞2bn=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {2 b _{n}} = 6이므로 lim⁡n→∞an=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 6

태그

#수열의 극한#급수와 극한

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