미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 극한 보기

문제

두 수열 an,bna _{n} , b _{n}의 극한에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. an<bna _{n} < b _{n}이고 lim⁡n→∞an=∞\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \infty 이면 lim⁡n→∞bn=∞\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = \infty이다. ㄴ. 두 수열 an,bna _{n} , b _{n}이 수렴할 때 an<bna _{n} < b _{n}이면 lim⁡n→∞an<lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} < \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n}이다. ㄷ. lim⁡n→∞anbn=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} b _{n} = 0이면 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = 0 또는 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = 0이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄱ, ㄷ

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①

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해설

[출제의도] 극한값의 성질을 이해할 수 있다. ㄱ. an<bna _{n} < b _{n}이므로 lim⁡n→∞an=∞\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \infty이면 lim⁡n→∞bn=∞\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = \infty이 성립한다. ∴ 참 ㄴ. 반례: an=1n,bn=2n\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n} , b _{n} = \frac{2}{n}이면 자연수 nn에 대하여 an<bna _{n} < b _{n}이지만 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} ∴ 거짓 ㄷ. 반례: 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 1,0,1,0,1,⋯1 , 0 , 1 , 0 , 1 , \cdots 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 0,1,0,1,0,⋯0 , 1 , 0 , 1 , 0 , \cdots 이면lim⁡n→∞anbn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} b _{n} = 0이지만 lim⁡n→∞an≠0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} \ne 0, lim⁡n→∞bn≠0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} \ne 0이다. ∴ 거짓

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