수선의 발 길이비 극한

삼각형 $\mathrm{PHO}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{PH}}} ^{2}$ $\displaystyle {\mathrm{P}} ( t , \sqrt{t} )$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2} = t ^{2} + t$ 선분 $\mathrm{PH}$의 길이는 점 $\mathrm{P}$와 직선 $x - 2 y = 0$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = \frac{| t - 2 \sqrt{t} |}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} ^{2} = t ^{2} + t - \frac{( t - 2 \sqrt{t} ) ^{2}}{5}$$\displaystyle = \frac{4 t ^{2} + 4 t \sqrt{t} + t}{5}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{OH}}} ^{2}}{{\overline{\mathrm{OP}}} ^{2}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow \infty} {\frac{4 t ^{2} + 4 t \sqrt{t} + t}{5 ( t ^{2} + t )}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow \infty} {\frac{4 + \frac{4 \sqrt{t}}{t} + \frac{1}{t}}{5 + \frac{5}{t}}}$$\displaystyle = \frac{4}{5}$