수렴하는 수열 조건

[출제의도] 등비수열이 포함된 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( \sqrt{16 ^{n} + a ^{n}} - 4 ^{n} )$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a ^{n}}{\sqrt{16 ^{n} + a ^{n}} + 4 ^{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( \frac{a}{4} \right) ^{n}}{\sqrt{1 + \left( \frac{a}{16} \right) ^{n}} + 1}$ (ⅰ) $0 < a < 4$일 때 $0$으로 수렴한다. (ⅱ) $a = 4$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2}$로 수렴한다. (ⅲ) $a > 4$일 때 발산한다. 따라서 구하는 자연수 $a$는 $1 , 2 , 3 , 4$의 $4$개다.