수렴 수열의 극한 변형

[출제의도] 무한수열의 극한의 성질을 이해하고 극한값을 구하기 $( n ^{2} - 1 ) a _{n} = b _{n}$라 하면 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n ^{2} - 1} b _{n}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 2006$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{1}{2} n ^{2} + 1 \right) a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{1}{2} n ^{2} + 1 \right) \frac{b _{n}}{n ^{2} - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{1}{2} n ^{2} + 1}{n ^{2} - 1} \cdot b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{1}{2} n ^{2} + 1}{n ^{2} - 1} \cdot \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2006 = 1003$