순서쌍 조건부확률

네 수의 곱이 홀수가 되려면 네 수 모두 홀수이어야 한다. 따라서 $a \times b \times \left( c + 1 \right) \times \left( d + 1 \right)$이 홀수이므로 $a$, $b$는 홀수, $c$, $d$는 짝수이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$는 $1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 10$을 만족하므로 (ⅰ) $c = 2$일 때 $1 \leq a \leq b \leq 2 \leq d \leq 10$이므로 $a = b = 1$ 이고 $d$를 택하는 경우의 수는 $5$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $1 \times 5 = 5$ (ⅱ) $c = 4$일 때 $1 \leq a \leq b \leq 4 \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $\mathit{_{2}} \mathrm{H} _{2} \times 4 = \mathit{_{3}} \mathrm{C} _{2} \times 4 = 12$ (ⅲ) $c = 6$일 때 $1 \leq a \leq b \leq 6 \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} _{2} \times 3 = \mathit{_{4}} \mathrm{C} _{2} \times 3 = 18$ (ⅳ) $c = 8$일 때 $1 \leq a \leq b \leq 8 \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $\mathit{_{4}} \mathrm{H} _{2} \times 2 = \mathit{_{5}} \mathrm{C} _{2} \times 2 = 20$ (ⅴ) $c = 10$일 때 $1 \leq a \leq b \leq 10 \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $\mathit{_{5}} \mathrm{H} _{2} \times 1 = \mathit{_{6}} \mathrm{C} _{2} \times 1 = 15$ 이상에서 ㉠을 만족하는 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $5 + 12 + 18 + 20 + 15 = 70$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이때 $b \times c$가 $3$의 배수가 되려면 $b$ 또는 $c$가 $3$의 배수가 되어야 한다. (ⅰ) $c = 6$일 때 $1 \leq a \leq b \leq 6 \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} _{2} \times 3 = \mathit{_{4}} \mathrm{C} _{2} \times 3 = 18$ (ⅱ) $b = 3$일 때 $1 \leq a \leq 3 \leq c \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $2 \times \mathit{_{4}} \mathrm{H} _{2} = 2 \times \mathit{_{5}} \mathrm{C} _{2} = 20$ (ⅲ) $b = 9$일 때 $1 \leq a \leq 9 \leq c \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $5 \times \mathit{_{1}} \mathrm{H} _{2} = 5 \times \mathit{_{2}} \mathrm{C} _{2} = 5$ (ⅳ) $b = 3$, $c = 6$일 때 $1 \leq a \leq 3 \leq 6 \leq d \leq 10$이므로 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $2 \times 3 = 6$ 이상에서 $b \times c$가 $3$의 배수인 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $18 + 20 + 5 - 6 = 37$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{37}{70}$ 따라서 $p = 70$, $q = 37$이므로 $p + q = 70 + 37 = 107$