순서쌍 개수

[출제의도] 중복조합을 활용하여 경우의 수 추론하기 조건에 맞는 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수를 구하려면 (가)를 만족시키는 경우에서 두 점 $\left( a , b \right)$, $\left( c , d \right)$가 서로 같은 경우와 점 $\left( a , b \right)$ 또는 점 $\left( c , d \right)$가 직선 $y = 2 x$ 위에 있는 경우를 제외하면 된다. $a = a' + 1$, $b = b' + 1$, $c = c' + 1$, $d = d' + 1$이라 하면 $a + b + c + d = 12$를 만족시키는 자연수 해의 개수는 $a' + b' + c' + d' = 8$을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 ${} _{4} \mathrm{H} _{8} = _{11} C _{3} = 165$ (ⅰ) 두 점 $\left( a , b \right)$, $\left( c , d \right)$가 같은 경우 $a = c$, $b = d$이므로 $a + b = 6$이고 순서쌍의 개수는 ${} _{2} \mathrm{H} _{4} = 5$ 즉, 순서쌍은 $\left( 1 , 5 , 1 , 5 \right)$, $\left( 2 , 4 , 2 , 4 \right)$, $\left( 3 , 3 , 3 , 3 \right)$, $\left( 4 , 2 , 4 , 2 \right)$, $\left( 5 , 1 , 5 , 1 \right)$의 $5$가지이다. (ⅱ) 점 $\left( a , b \right)$가 직선 $y = 2 x$ 위에 있는 경우 $b = 2 a$이므로 $3 a + c + d = 12$ $a = 1$인 경우 $c + d = 9$의 자연수 해의 개수는 $\mathrm{_{2}} H _{7} = 8$ $a = 2$인 경우 $c + d = 6$의 자연수 해의 개수는 $\mathrm{_{2}} H _{4} = 5$ $a = 3$인 경우 $c + d = 3$의 자연수 해의 개수는 $\mathrm{_{2}} H _{1} = 2$ 따라서 점 $\left( a , b \right)$가 직선 $y = 2 x$ 위에 있을 때의 순서쌍의 개수 $8 + 5 + 2 = 15$에서 (ⅰ)과 중복되는 순서쌍 $\left( 2 , 4 , 2 , 4 \right)$를 제외한 순서쌍의 개수는 $14$이다. (ⅲ) 점 $\left( c , d \right)$가 직선 $y = 2 x$ 위에 있는 경우 (ⅱ)와 같이 순서쌍의 개수는 $14$이다. (ⅳ) 두 점 $\left( a , b \right)$, $\left( c , d \right)$가 모두 직선 $y = 2 x$ 위에 있는 경우 $3 a + 3 c = 12$이므로 $a + c = 4$ 따라서 두 점 $\left( a , b \right)$, $\left( c , d \right)$가 모두 직선 $y = 2 x$ 위에 있을 때의 순서쌍의 개수 ${} _{2} \mathrm{H} _{2} = 3$에서 (ⅰ)과 중복되는 순서쌍 $\left( 2 , 4 , 2 , 4 \right)$를 제외한 순서쌍의 개수는 $2$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 구하는 순서쌍의 개수는 $165 - 5 - \left( 14 + 14 - 2 \right) = 134$