순환소수

$x = 0.020202 \cdots$라 하면 $100 x = 2.020202 \cdots$ $100 x - x = 2$, $\displaystyle x = \frac{2}{99}$ 그러므로 $p = 99$, $q = 2$ $\displaystyle \frac{6}{p} \times n + \frac{q}{11}$$\displaystyle = \frac{6}{99} n + \frac{2}{11} = \frac{2}{33} n + \frac{2}{11} = \frac{2 n + 6}{33}$ $\displaystyle = \frac{2 \left( n + 3 \right)}{3 \times 11}$ 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{2 \left( n + 3 \right)}{3 \times 11}$이 자연수가 되기 위해서는 $3$과 $11$이 모두 $2 \left( n + 3 \right)$의 소인수이어야 한다. 그러므로 $2 \left( n + 3 \right)$은 $33$의 배수이다. $2$와 $33$은 서로소이므로 $n + 3$은 $33$의 배수이다. 따라서 이를 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값은 $30$