수직선 위의 무리수

[출제의도] 피타고라스 정리를 이해하여 주어진 식의 값을 구한다. 조건에서 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선의 길이가 $\displaystyle \sqrt{6}$이므로 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{6}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 1$이므로 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AC}} ^{2} - {\overline{BC}} ^{2}$$\displaystyle = \left( {\sqrt{6}} \right) ^{2} - 1 ^{2}$$= 6 - 1$$= 5$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{5}$ 변 $\mathrm{DC}$의 길이와 변 $\mathrm{AB}$의 길이는 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} = \overline{AB} = \sqrt{5}$

$\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = {\overline{BA}} = \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle p = 3 - \sqrt{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = {\overline{CD}} = \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle q = 4 + \sqrt{5}$ 따라서 $q - p$$\displaystyle = 4 + \sqrt{5} - ( 3 - \sqrt{5} )$ $\displaystyle = 4 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}$ $\displaystyle = 1 + 2 \sqrt{5}$ [다른 풀이] 위의 풀이에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} = \overline{AB} = \sqrt{5}$ $q - p$의 값은 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이와 같다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = {\overline{PB}} + {\overline{BC}} + {\overline{CQ}}$이므로 각 선분의 길이를 구하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = \overline{AB} = \sqrt{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \overline{CD} = \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PB}} + {\overline{BC}} + {\overline{CQ}}$ $\displaystyle = \sqrt{5} + 1 + \sqrt{5}$ $\displaystyle = 1 + 2 \sqrt{5}$