수직선 등간격

[출제의도] 수직선 위에서 실수의 대소 관계를 추론한다. 두 실수 ${a}$, ${b}$에 대하여 ${a < b}$라 하자. 이웃한 두 점 사이의 거리가 서로 같으면서 네 실수 ${a}$, ${b}$, $\displaystyle {\frac{1}{6}}$, $\displaystyle {\frac{2}{3}}$의 대소 관계로 가능한 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $\displaystyle {a < b < \frac{1}{6} < \frac{2}{3}}$인 경우 $\displaystyle {\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2}}$이므로 이웃한 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle {\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {b = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} < 0}$이고, ${a < b < 0}$이므로 ${ab > 0}$이 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle {a < \frac{1}{6} < b < \frac{2}{3}}$인 경우 이웃한 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle {\frac{1}{4}}$ ${a}$$\displaystyle {= \frac{1}{6} - \frac{1}{4} < 0}$이고 ${b}$$\displaystyle {= \frac{1}{6} + \frac{1}{4} > 0}$이므로 ${ab < 0}$이고 ${a + b}$$\displaystyle {= \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right)}$$\displaystyle {= \frac{1}{6} + \frac{1}{6}}$$\displaystyle {= \frac{1}{3}}$ (ⅲ) $\displaystyle {a < \frac{1}{6} < \frac{2}{3} < b}$인 경우 이웃한 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle {\frac{1}{2}}$ ${a}$$\displaystyle {= \frac{1}{6} - \frac{1}{2} < 0}$이고 ${b}$$\displaystyle {= \frac{2}{3} + \frac{1}{2} > 0}$이므로 ${ab < 0}$이고 ${a + b}$$\displaystyle {= \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right)}$$\displaystyle {= \frac{1}{6} + \frac{2}{3}}$$\displaystyle {= \frac{5}{6}}$ (ⅳ) $\displaystyle {\frac{1}{6} < a < b < \frac{2}{3}}$, $\displaystyle {\frac{1}{6} < a < \frac{2}{3} < b}$, $\displaystyle {\frac{1}{6} < \frac{2}{3} < a < b}$인 경우는 ${ab > 0}$이 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ)~(ⅳ)에서 ${a + b}$의 최댓값은 $\displaystyle {\frac{5}{6}}$ 마찬가지 방법으로 ${a > b}$인 경우 ${a + b}$의 최댓값은 $\displaystyle {\frac{5}{6}}$ 따라서 구하는 최댓값은 $\displaystyle {\frac{5}{6}}$