수직인 두 현과 반지름

[출제의도] 원의 성질과 피타고라스 정리를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 현 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$의 교점이 $\mathrm{P}$일 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} \times \overline{PB} = \overline{PC} \times \overline{PD}$이므로 $\displaystyle \mathrm{12} \times 16 = \overline{PC} \times 24$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = 8$ 원의 중심 $\mathrm{O}$에서 두 현 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이라 하자. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = \overline{BM} = \frac{12 + 16}{2} = 14$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CN}} = \overline{DN} = \frac{8 + 24}{2} = 16$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = \overline{NP} = \overline{CN} - \overline{PC} = 16 - 8 = 8$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = \mathit{r}$$\mathrm{cm}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{OMB}$에 피타고라스의 정리를 적용하면 $r ^{2} = 8 ^{2} + 14 ^{2} = 64 + 196 = 260$