확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수형도 공통 조상

문제

다음은 $1023$ 개의 꼭짓점을 갖는 수형도에 $1$ 부터 $1023$ 까지 연속된 자연수를 각 꼭짓점에 규칙적으로 대응시킨 것이다.

$1$ 이 대응된 꼭짓점에서 $a$ 가 대응된 꼭짓점까지 가는 경로와 $1$ 이 대응된 꼭짓점에서 $b$ 가 대응된 꼭짓점까지 가는 경로에 공통으로 포함되는 꼭짓점에 대응된 자연수 중 최댓값을 $M ( a , b )$ 라 하자. 예를 들어, $M ( 4 , 11 ) = 2$ , $M ( 7 , 12 ) = 3$ 이다. $M ( 33 , 79 ) = k$ 라 할 때, $10 k$ 의 값을 구하시오. [4점]

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40

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해설

$a$ 가 대응된 꼭짓점의 바로 위쪽에 있는 꼭짓점을 $b$ 라 하면 (단, $a \ne 1$ ) $\displaystyle b = \begin{cases} \frac{a}{2} & ( a \text{가} \text{짝수} ) \\ \frac{a - 1}{2} & ( a \text{가} \text{홀수} ) \end{cases}$ 가 성립한다. $33 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ $79 \rightarrow 39 \rightarrow 19 \rightarrow 9 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ 따라서, $10 k = 10 \times M ( 33 , 79 ) = 40$ 이다.

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