미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

소수부분 극한

문제

양의 정수 nn에 대하여 n2+3n+1\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 3 n + 1}의 소수부분을 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞100an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 100 a _{n}의 값을 구하시오. [4점]

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50

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기 (n+1)2<n2+3n+1<(n+2)2\displaystyle \sqrt{( n + 1 ) ^{2}} < \sqrt{n ^{2} + 3 n + 1} < \sqrt{( n + 2 ) ^{2}} 이므로 an=n2+3n+1−(n+1)\displaystyle a _{n} = \sqrt{n ^{2} + 3 n + 1} - ( n + 1 ) lim⁡n→∞100an=lim⁡n→∞100{n2+3n+1−(n+1)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 100 a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 100 \left\{ \sqrt{n ^{2} + 3 n + 1} - ( n + 1 ) \right\} =100×12=50\displaystyle = 100 \times \frac{1}{2} = 50

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#수열의 극한#소수부분

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