소수 개수 함수 극한

$x$가 양수일 때, $x$보다 작은 자연수 중에서 소수의 개수를 $f \left( x \right)$라 하고, 함수 $g \left( x \right)$를 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} f \left( x \right) & \left( x > 2 f \left( x \right) \right) \\ \frac{1}{f \left( x \right)} & \left( x \leq 2 f \left( x \right) \right) \end{cases}$ 라고 하자. 예를 들어, $\displaystyle f \left( \frac{7}{2} \right) = 2$이고, $\displaystyle \frac{7}{2} < 2 f \left( \frac{7}{2} \right)$이므로 $\displaystyle g \left( \frac{7}{2} \right) = \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 8 + 0} {g \left( x \right)} = \alpha$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 8 - 0} {g \left( x \right)} = \beta$ 라고 할 때, $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}$의 값을 구하시오. [4점]