신뢰구간의 성질

ㄱ. 모평균이 $m$, 모분산이 $\sigma ^{2}$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 복원추출할 경우 표본평균 $\displaystyle {\overline{X}}$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle N \left( m , \frac{\sigma ^{2}}{n} \right)$을 따르므로 분산 $\displaystyle \frac{\sigma ^{2}}{n}$은 표본의 크기에 반비례 한다. $\therefore$ 참 ㄴ. 신뢰도 $95 \%$인 신뢰구간은 $\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} {\overline{X}} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , {\overline{X}} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{array} \right]$ 신뢰도 $99 \%$인 신뢰구간은 $\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} {\overline{X}} - 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , {\overline{X}} + 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{array} \right]$에서 신뢰도 $99 \%$인 신뢰구간이 신뢰도 $95 \%$인 신뢰구간보다 더 긴 구간이므로 신뢰도 $99 \%$인 신뢰구간이 신뢰도 $95 \%$인 신뢰구간을 포함한다. $\therefore$ 참 ㄷ. ㄴ의 신뢰도 $95 \%$인 신뢰구간, 신뢰도 $99 \%$인 신뢰구간을 보면 표본의 크기 $n$이 작을수록 신뢰구간은 더 길어지는 것을 알 수 있다. $\therefore$ 거짓 따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.