신뢰구간의 길이

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 모평균의 신뢰구간을 구할 수 있는가? 이 회사에서 생산하는 샴푸 $1$개의 용량을 $X \mathrm{(} mL )$라 하면 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{(} m , \sigma ^{2} )$을 따른다. 표본의 크기가 $16$일 때의 표본평균을 $\displaystyle \overline{x} _{1}$이라 하면 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95 \%$의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline{x} _{1} - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} \leq m \leq \overline{x} _{1} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}}$ 이므로 $\displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} = 755.9 - 746.1$ 즉, $0.98 \sigma = 9.8$ 따라서 $\sigma = 10$이다. 표본의 크기가 $n$일 때의 표본평균을 $\displaystyle \overline{x} _{2}$라 하면 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99 \%$의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline{x} _{2} - 2.58 \times \frac{10}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{x} _{2} + 2.58 \times \frac{10}{\sqrt{n}}$ 이므로 $b - a$$\displaystyle = 2 \times 2.58 \times \frac{10}{\sqrt{n}}$$\displaystyle = \frac{51.6}{\sqrt{n}}$ 이때 $\displaystyle \frac{51.6}{\sqrt{n}} \leq 6$, 즉 $\displaystyle \sqrt{n} \geq \frac{51.6}{6} = 8.6$이어야 하므로 $n \geq 8.6 ^{2} = 73.96$ 이다. 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $74$이다.