확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

신뢰구간과 상수 c

문제

어느 공장에서 생산하는 제품의 무게는 모평균이 mm, 모표준편차가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 제품 중에서 2525개를 임의추출하여 신뢰도 9595%로 추정한 모평균 mm에 대한 신뢰구간이 [a,b][ a , b ]일 때, P(∣Z∣≤c)=0.95{\mathrm{P}} ( \left| Z \right| \leq c ) = 0.95를 만족시키는 cc를 a,ba , b로 나타낸 것은? (단, 확률변수 ZZ는 표준정규분포를 따른다.) [4점] ①3(b−a)3 ( b - a )②72(b−a)\displaystyle \frac{7}{2} ( b - a )③4(b−a)4 ( b - a )④92(b−a)\displaystyle {\frac{9}{2}} ( b - a )⑤5(b−a)5 ( b - a )

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⑤

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해설

정규분포 N(m,(12)2)\displaystyle N \left( m , \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \right)을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 n=25n = 25인 표본의 표본평균을 X‾\displaystyle \overline{X}라 할 때, 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간은 [X‾−c1225,X‾+c1225]\displaystyle \left[ \overline{X} - c \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25}} , \overline{X} + c \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25}} \right] (단, P(∣Z∣≤c)=0.95\mathrm{P} \mathit{(} | Z | \leq c ) = 0.95) 즉, [X‾−c10,X‾+c10]\displaystyle \left[ \overline{X} - \frac{c}{10} , \overline{X} + \frac{c}{10} \right] ∴ a=X‾−c10,b=X‾+c10\displaystyle a = \overline{X} - \frac{c}{10} , b = \overline{X} + \frac{c}{10} b−a=2×c10\displaystyle b - a = 2 \times \frac{c}{10}=c5\displaystyle = \frac{c}{5} ∴ c=5(b−a)c = 5 ( b - a )

태그

#모평균 추정#신뢰구간

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