확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

신뢰구간과 최대 허용 오차

문제

대학수학능력시험에 응시하려는 수험생 중 수리 영역의 ‘가’형을 선택하는 수험생의 비율 $p$ 를 신뢰도 $95 \%$ 로 구간추정하려고 한다. 이 시험에 응시하려는 수험생 중 $1 , 000$ 명을 임의추출하여 조사하였더니 $400$ 명이 ‘가’형을 선택한다고 응답하였다. 신뢰구간의 길이를 $N$ , 최대 허용 표본오차를 $M$ 이라 할 때, $\displaystyle \frac{N}{2 M}$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{5}$ ② $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{5}$ ③ $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{5}$ ④ $\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ⑤ $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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④

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표본비율을 $\hat{p}$ 이라 하면 $\displaystyle \hat{p} = \frac{400}{1000} = 0.4$ 이므로 신뢰도 95%의 신뢰구간의 길이 $N$ 은 $\displaystyle N = 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}}$ $\displaystyle = 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{1000}}$ 한편 이 때의 최대 허용 표본 오차 $M$ 은 $\displaystyle M = 1.96 \times \sqrt{\frac{1}{4 n}} = 1.96 \times \sqrt{\frac{1}{4000}}$ $\displaystyle \therefore \frac{N}{2 M} = \frac{2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{1000}}}{2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{1}{4000}}}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{1000}}}{\sqrt{\frac{1}{4000}}}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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