확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

신뢰구간 길이와 신뢰도

문제

분산이 $\sigma ^{2}$ 인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기 $n$ 인 표본을 임의추출하여 모평균 $m$ 을 추정한 후 신뢰구간의 길이를 구하고자 한다. 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $79.6 \%$ 의 신뢰구간의 길이가 $l$ 이고, 모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $\alpha \%$ 의 신뢰구간의 길이는 $2 l$ 이다. 이 때, $\alpha$ 의 값은? [4점]

$z$	${\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq z \right)$
$1.27$	$0.3980$
$1.69$	$0.4545$
$1.96$	$0.4750$
$2.54$	$0.4945$
$3.29$	$0.4995$

① $87.3$ ② $90.9$ ③ $95.0$ ④ $98.9$ ⑤ $99.9$

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④

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해설

[출제 의도] 모평균에 대한 신뢰구간의 길이 구하기 ${\mathrm{P}} ( - z \leq Z \leq z ) = 0.796$ 인 $z$ 의 값은 $1.27$ 이므로 $\displaystyle l = 2 \times 1.27 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 따라서, 신뢰구간의 길이가 $2 l$ 이면 $\displaystyle 2 l = 2 \times 2.54 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $\therefore {\mathrm{P}} ( - 2 , 54 \leq Z \leq 2.54 )$ $= 2 {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 2.45 )$ $= 2 \times 0.4945 = 0.989$ $\therefore \alpha = 98.9$

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