확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

신뢰구간 길이와 표본 크기

문제

다음은 신뢰구간, 신뢰도, 표본의 크기의 관계를 설명한 것이다.

정규분포 N(m,σ2)N ( m , \sigma ^{2} )을 따르는 모집단이 있다. 이 모집단에서 크기 nn인 표본을 임의추출하면 표본평균은 정규분포 □(가)\square {\text{(가)}}을 따른다. 이 표본평균의 분포를 이용하여 추정한 모평균 mm에 대한 신뢰도 α\alpha의 신뢰구간을 a≤m≤ba \leq m \leq b 라 하자. 표본의 크기를 nn으로 고정하고 신뢰도를 α\alpha보다 높게 한 신뢰구간을 c≤m≤dc \leq m \leq d라 할 때, d−cd - c는 b−ab - a보다 □(나)\square {\text{(나)}}. 한편, 신뢰도를 α\alpha로 고정하고 표본의 크기를 2n2 n으로 한 신뢰구간을 e≤m≤fe \leq m \leq f라 할 때, f−ef - e는 b−ab - a의 □(다)\square {\text{(다)}}배가 된다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①N(m,σ2)N \left( m , \sigma ^{2} \right) 크다 12\displaystyle \frac{1}{2}②N(m,σ2)N \left( m , \sigma ^{2} \right) 작다 12\displaystyle \frac{1}{2}③N(m,σ2n)\displaystyle N \left( m , \frac{\sigma ^{2}}{n} \right) 크다 12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}④N(m,σ2n)\displaystyle N \left( m , \frac{\sigma ^{2}}{n} \right) 크다 2\displaystyle \sqrt{2}⑤N(m,σ2n)\displaystyle N \left( m , \frac{\sigma ^{2}}{n} \right) 작다 12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

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③

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해설

정규분포 N(m,σ2)N ( m , \sigma ^{2} )을 따르는 모집단에서 크기 nn인 표본을 임의추출하면 표본평균 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(m,σ2n)\displaystyle N \left( m , \frac{\sigma ^{2}}{n} \right)을 따른다. 이 때 표본의 크기를 고정하고 신뢰도를 높이면 신뢰구간의 길이는 커지고, 신뢰도를 고정하고 표본의 크기를 22배로 늘리면 신뢰구간의 길이는 12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}배가 된다. 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로 N(m,σ2n)\displaystyle N \left( m , \frac{\sigma ^{2}}{n} \right), 크다, 12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}이다.

태그

#신뢰구간#표본평균의 분포

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