확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

신뢰구간 길이 비교

문제

$\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 네 지역의 고등학교 $3$ 학년 학생의 키를 조사하기 위하여 각 지역에서 표본을 추출하여 표본평균을 구하였다. 각 지역의 키의 분포는 정규분포를 따르고 각 지역의 분산은 다음과 같이 알려져 있다.

	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$
표본평균	$175$	$170$	$175$	$170$
분산	$36$	$16$	$16$	$25$
표본 수	$100$	$400$	$400$	$100$

위의 표를 보고 모평균의 신뢰구간에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, $\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq 1.96 ) = 0.475$ , $\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq 2.58 ) = 0.495$ ) [4점]

	<보 기>

ㄱ. $\mathrm{B}$ 와 $\mathrm{C}$ 의 신뢰도 $95$ % 신뢰구간의 길이는 같다. ㄴ. $\mathrm{A}$ 의 신뢰도 $95$ % 신뢰구간의 길이가 $\mathrm{C}$ 의 신뢰도 $99$ % 신뢰구간의 길이보다 짧다. ㄷ. $\mathrm{B}$ 의 신뢰도 $95$ % 신뢰구간의 길이가 $\mathrm{D}$ 의 신뢰도 $95$ % 신뢰구간의 길이보다 짧다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 95%와 99% 신뢰구간의 길이는 각각 $\displaystyle 2 \times 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , $\displaystyle 2 \times 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 이다. ㄱ. B와 C의 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이는 표본의 수와 분산이 같기 때문에 두 신뢰구간의 길이는 같다. ∴ 참 ㄴ. A의 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이는 $\displaystyle 2 \times 1.96 \frac{6}{\sqrt{100}} = 2 \times 1.96 \frac{6}{10} = 2.352$ C의 신뢰도 99% 신뢰구간의 길이는 $\displaystyle 2 \times 2.58 \frac{4}{\sqrt{400}} = 2 \times 2.58 \frac{4}{20} = 1.032$ 따라서, A의 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이가 C의 신뢰도 99% 신뢰구간의 길이보다 길다. ∴ 거짓 ㄷ. B의 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이는 $\displaystyle 2 \times 1.96 \frac{4}{\sqrt{400}} = 2 \times 1.96 \frac{4}{20} = 0.784$ D의 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이는 $\displaystyle 2 \times 1.96 \frac{5}{\sqrt{100}} = 2 \times 1.96 \frac{5}{10} = 1.96$ 따라서, B의 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이가 D의 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이보다 짧다. ∴ 참 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

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