확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

신뢰구간 길이

문제

어느 통신 회사의 스마트폰 사용 고객들의 올해 $7$ 월의 데이터 사용량은 모평균이 $m$ ( $\mathrm{GB}$ ), 모표준편차가 $1.2$ ( $\mathrm{GB}$ )인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고객들 중에서 $n$ 명을 임의추출하여 신뢰도 $95 \%$ 로 추정한 모평균 $m$ 에 대한 신뢰구간이 $[ a , b ]$ 일 때, $b - a \leq 0.56$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오. (단, $Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, ${\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1.96 ) = 0.4750$ 으로 계산한다.) [3점]

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71

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해설

$b - a$ 는 신뢰구간의 길이를 의미한다. 모표준편차가 $1.2$ ( $\mathrm{GB}$ )이고 ${\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1.96 ) = 0.4750$ 이므로 $\displaystyle b - a = 2 \times 1.96 \times \frac{1.2}{\sqrt{n}}$ $\displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{1.2}{\sqrt{n}} \leq 0.56$ 에서 $\displaystyle \sqrt{n} \geq 8.4$ ∴ $n \geq 70.56$ 따라서 자연수 $n$ 의 최솟값은 $71$ 이다.

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