확률과 통계통계적 추정수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

신뢰구간 비용과 수익

문제

평균이 $m$ 이고 표준편차가 5인 정규분포를 따르는 모집단이 있다. 어느 조사에서 크기 $n$ 인 표본을 임의추출하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 $[ a , b ]$ 일 때, 조사비용과 추정의 정확도에 따른 수익이 다음과 같다고 한다.

$n$	$\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{1 + \log n}$
1600	9.51
1700	9.75
1800	9.97
1900	10.19
2000	10.40

비용: $10 n$ , 수익: $\displaystyle 10 ^{\frac{2}{b - a}}$ $n$ 이 100의 배수일 때, 수익이 비용보다 크게 되는 $n$ 의 최솟값을 오른쪽 표를 이용하여 구한 것은? (단, $Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P ( 0 \leq Z \leq 1.96 ) = 0.4750$ 이다.) [4점] ①1600②1700③1800④1900⑤2000

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③

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해설

$\displaystyle b - a = 2 \times 1.96 \times \frac{5}{\sqrt{n}}$ 이므로 $\displaystyle 10 n < 10 ^{\frac{2}{b - a}}$ 에서 $\displaystyle 10 n < 10 ^{\frac{\sqrt{n}}{9.8}}$ 양변에 상용로그를 취하면 $\displaystyle \log 10 n < \log 10 ^{\frac{\sqrt{n}}{9.8}}$ $\displaystyle 1 + \log n < \frac{\sqrt{n}}{9.8}$ , $\displaystyle 9.8 < \frac{\sqrt{n}}{1 + \log n}$ 따라서 $n = 1700$ 일 때 $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{1 + \log n} = 9.75$ $n = 1800$ 일 때 $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{1 + \log n} = 9.97$ 이므로 $n$ 의 최솟값은 1800이다.

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