실근 개수와 극한

함수 $\displaystyle y = \sin \left( \frac{\pi}{a _{n}} x \right)$의 주기는 $2 a _{n}$이고 $0 < x < 3$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{a _{n}} x \right) = 1$의 서로 다른 실근의 개수가 $2 n$이므로 $0 < x < 3$에서 함수 $\displaystyle y = \sin \left( \frac{\pi}{a _{n}} x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle \left( 4 n - \frac{3}{2} \right) \times a _{n} < 3 \leq \left( 4 n + \frac{1}{2} \right) \times a _{n}$ $\displaystyle \frac{3}{4 n + \frac{1}{2}} \leq a _{n} < \frac{3}{4 n - \frac{3}{2}}$ $\displaystyle \frac{3 n}{4 n + \frac{1}{2}} \leq na _{n} < \frac{3 n}{4 n - \frac{3}{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{4 n + \frac{1}{2}} = \frac{3}{4}$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{4 n - \frac{3}{2}} = \frac{3}{4}$이므로 수열의 극한의 대소관계에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} na _{n} = \frac{3}{4}$