시행 멈춤 조건부확률

남아 있는 공의 색의 종류의 수가 처음으로 $2$가 되면 시행을 멈추므로 (ⅰ) 남아 있는 공의 색의 종류가 흰 색, 검은 색일 때 꺼낸 공의 종류와 개수가 각각 검은 공 $2$개, 노란 공 $2$개가 되는 사건을 $A$라 하면 $\mathrm{P} \mathit{\left( A \right)}$$\displaystyle = \frac{\left( {}_{6} \mathrm{P} _{2} \times _{2} \mathrm{C} _{1} \times 1 \right) \times 3}{{}_{9} \mathrm{P} _{4}}$$\displaystyle = \frac{5}{84}$ (ⅱ) 남아 있는 공의 색의 종류가 검은 색, 노란 색일 때 꺼낸 공의 종류와 개수가 각각 흰 공 $1$개, 검은 공 $2$개, 노란 공 $1$개가 되는 사건을 $B$라 하고, 각각 흰 공 $1$개, 검은 공 $3$개가 되는 사건을 $C$라 하면 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{B} \right) = \frac{\left( {}_{6} \mathrm{P} _{2} \times _{2} \mathrm{C} _{1} \times 1 \right) \times 3}{{}_{9} \mathrm{P} _{4}} = \frac{5}{84}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{C} \right) = \frac{{}_{6} \mathrm{P} _{3} \times 1}{{}_{9} \mathrm{P} _{4}} = \frac{5}{126}$ 이상에서 세 사건 $A$, $B$, $C$가 서로 배반이므로 구하려는 사건의 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( \left( B \cup C \right) \left| \left( A \cup B \cup C \right) \right) \right.}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{84} + \frac{5}{126}}{\frac{5}{84} + \frac{5}{84} + \frac{5}{126}}$$\displaystyle = \frac{5}{8}$ 따라서 $p = 8$, $q = 5$이므로 $p + q = 13$