스티커 카드 확률

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지를 $( a , b , c )$로 나타내기로 하자. 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 각각 (0, 1, 2) 이면 두 번의 시행으로는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수가 없다. 또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 이고 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는 (0,1,2)→(0,2,2)→(0,2,3)→(0,3,3) (0,1,2)→(0,2,2)→(0,3,2)→(0,3,3) (0,1,2)→(0,1,3)→(0,2,3)→(0,3,3) 의 3가지이고 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3가지씩이다. 따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은 $\displaystyle P ( A ^{C} ) = 1 - \frac{3 + 3 + 3}{27} = \frac{2}{3}$ 또한, 3번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 (0, 1, 2) 또는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2) 이므로 4번째 , 5번째 시행에서는 사건 A가 일어나지 않고 6번째 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 같은 방법으로 생각하면 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다. 따라서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle 1 \times 1 \times \frac{2}{3} \times 1 \times 1 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ $\therefore$$p + q = 11$