중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

스프링클러 공간 활용도

문제

잔디밭에 스프링쿨러를 이용하여 물을 주려고 한다. 물이 뿌려지는 원모양의 영역과 뿌려지지 않는 어두운 영역이 그림과 같다. 공간 활용도를 $U$ 라 하면, $\displaystyle U = \frac{( \text{원의} \text{넓이} )}{( \text{원에} \text{외접한} \text{정다각형의} \text{넓이} )}$ 이다. (그림 $1$ ), (그림 $2$ )의 스프링쿨러의 공간활용도를 각각 $U _{1}$ , $U _{2}$ 라고 할 때, $\displaystyle \frac{U _{2}}{U _{1}}$ 의 값은? (단, 정다각형은 원에 외접한다.) [ $4$ 점]

(그림 $1$ ) (그림 $2$ )

① $\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ② $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ③ $\displaystyle \sqrt{2}$ ④ $\displaystyle \sqrt{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

주관식 (22-30)

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②

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해설

원의 반지름을 $r$ 이라 하면 $\displaystyle U _{1} = \frac{\pi r ^{2}}{( {2 r} ) ^{2}} = \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle U _{2} = \frac{\pi r ^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} r \right) ^{2} \times 6} = \frac{\sqrt{3}}{6} \pi$ $\displaystyle \frac{U _{2}}{U _{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6} \pi}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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