세트 무게 정규분포

[출제의도] 실생활 관련 문제를 표본평균의 분포를 활용하여 해결한다. 생수 $1$병의 무게를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 $\mathrm{N} \left( 500 , 10 ^{2} \right)$을 따른다. 한 세트를 이루는 생수 $4$병의 무게의 평균을 확률변수 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{E} \left( \mathit{\overline{X}} \right) = 500$, $\displaystyle \left. \mathrm{V} \left( \mathit{\overline{X}} \right) = \frac{10 ^{2}}{4} = 25 = 5 ^{2} \right.$이고 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N} \left( 500 , 5 ^{2} \right)$을 따른다. ∴ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{\overline{X}} \geq \frac{2030}{4} \right) = \mathrm{P} \left( \mathit{\overline{X}} \geq 507.5 \right)$ $\displaystyle = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{507.5 - 500}{5} \right)$ $= \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq 1.5 \right)$ $= 0.5 - \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq 1.5 \right)$ $= 0.5 - 0.4332$ $= 0.0668$