서로 다른 순서쌍 확률

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구하고 확률을 구할 수 있는가? 방정식 $x + y + z = 10$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x$, $y$, $z$의 모든 순서쌍 $\left( x , y , z \right)$의 개수는 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{H} _{10} = _{3 + 10 - 1} C _{10} = _{12} C _{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ 이 중에서 $\left( x - y \right) \left( y - z \right) \left( z - x \right) = 0$이 성립하려면 $x$, $y$, $z$ 중에서 오직 두 개만 서로 같아야 한다. 그런데 $x = y$를 만족시키는 순서쌍은 $\left( 0 , 0 , 10 \right)$, $\left( 1 , 1 , 8 \right)$, $\cdots$, $\left( 5 , 5 , 0 \right)$ 의 $6$개이므로 $\left( x - y \right) \left( y - z \right) \left( z - x \right) = 0$을 만족시키는 순서쌍의 개수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{2} \times 6 = 3 \times 6 = 18$ 따라서 $\left( x - y \right) \left( y - z \right) \left( z - x \right) = 0$이 성립할 확률은 $\displaystyle \frac{18}{66} = \frac{3}{11}$ 이므로 $\left( x - y \right) \left( y - z \right) \left( z - x \right) \ne 0$이 성립할 확률은 $\displaystyle 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$ 따라서 $p + q = 11 + 8 = 19$