미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

성냥개비 직육면체 극한

문제

그림과 같이 길이가 11인 성냥개비를 이용하여 가로의 길이가 nn, 세로의 길이가 11, 높이가 nn인 직육면체 모양의 An{\mathrm{A}} _{n}을 계속 만들자.

직육면체 모양의 An{\mathrm{A}} _{n}을 만드는데 필요한 성냥개비의 개수와 겉넓이를 각각 ana _{n}, bnb _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞anbnn4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} b _{n}}{n ^{4}}의 값을 구하시오. (단, 성냥개비의 두께는 무시한다.) [4점]

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1010

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해설

[출제의도] 수열의 일반항과 극한을 이용한 수학내적 문제해결하기 {an}:12,33,64,⋯\left\{ a _{n} \right\} : 12 , 33 , 64 , \cdots 따라서 an=12+(n−1){42+(n−2)10}2=(n+1)(5n+1)\displaystyle \begin{aligned} a _{n} = 12 + \frac{( n - 1 ) \left\{ 42 + ( n - 2 ) 10 \right\}}{2} \\ = ( n + 1 ) ( 5 n + 1 ) \end{aligned} bn=2n2+4n=2n(n+2)b _{n} = 2 n ^{2} + 4 n = 2 n ( n + 2 ) 이므로 ∴lim⁡n→∞anbnn4=10\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} b _{n}}{n ^{4}}} = 10

태그

#수열의 규칙#수열의 극한

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