미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

선분 길이 합 극한

문제

[13~14] 두 곡선 y=2x{{y = 2 ^{x}}}, y=4xy = 4 ^{x}이 직선 x=k{{x = k}}와 만나는 점을 각각 A{\mathrm{A}}와 B{{\mathrm{B}}}, 직선 y=m(0<m<1){{y = m ( 0 < m < 1 )}}과 만나는 점을 각각 C{\mathrm{C}}와 D{\mathrm{D}}라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

kk가 자연수일 때 선분 AB\mathrm{AB}의 길이를 lkl _{k}라 하자. Sn=∑k=1nlk\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} l _{k}라 할 때, lim⁡n→∞Sn4n+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n}}{4 ^{n + 1}}의 값은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

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①

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 lk=4k−2kl _{k} = 4 ^{k} - 2 ^{k}이므로 Sn=∑k=1n(4k−2k)\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 4 ^{k} - 2 ^{k} \right)=4n+13−2n+1+23\displaystyle = \frac{4 ^{n + 1}}{3} - 2 ^{n + 1} + \frac{2}{3} 그러므로 lim⁡n→∞Sn4n+1=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n}}{4 ^{n + 1}} = \frac{1}{3}

태그

#등비수열의 합#수열의 극한

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