선분 길이 극한

점 $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{3}{2} \mathit{t} , \frac{\sqrt{2}}{2} \mathit{t} \right)$ 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기가 $\displaystyle - \sqrt{2}$이므로 점 $\mathrm{C}$를 지나고 직선 $\mathrm{AB}$에 수직인 직선을 $l$이라 하면 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x - \frac{3}{2} t \right) + \frac{\sqrt{2}}{2} t$ 점 $\mathrm{D}$는 직선 $l$과 직선 $x = 2 t$의 교점이므로 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \mathit{2} t , \frac{3 \sqrt{2}}{4} t \right)$ $\displaystyle f \left( t \right) = {\overline{\mathrm{CD}}} = \sqrt{\left( 2 t - \frac{3}{2} t \right) ^{2} + \left( \frac{3 \sqrt{2}}{4} t - \frac{\sqrt{2}}{2} t \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{4} t$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 4} {\frac{t ^{2} - 16}{f \left( t \right) - \sqrt{6}} =} \lim\limits _{t \rightarrow 4} {\frac{t ^{2} - 4 ^{2}}{\frac{\sqrt{6}}{4} t - \sqrt{6}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 4} {\frac{4 \left( t - 4 \right) \left( t + 4 \right)}{\sqrt{6} \left( t - 4 \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 4} {\frac{4 ( t + 4 )}{\sqrt{6}}}$$\displaystyle = \frac{16 \sqrt{6}}{3}$ $\displaystyle k = \frac{16 \sqrt{6}}{3}$이므로 $3 k ^{2} = 512$