선분 길이 차 극한

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 도형 문제 해결하기 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{2 n ^{2}}{n} = 2 n$이므로 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{n} , 2 n ^{2} \right)$을 지나고 직선 $\mathrm{OP}$에 수직인 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y - 2 n ^{2} = - \frac{1}{2 n} ( x - n )$ 이고 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , 2 n ^{2} + \frac{1}{2} \right)$이다. 또, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = \mathit{\sqrt{n ^{2} + ( 2 n ^{2} ) ^{2}}} = \sqrt{4 n ^{4} + n ^{2}}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\mathrm{(} {\overline{OP}} - {\overline{OQ}} ) = \mathit{\lim\limits} _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \sqrt{4 n ^{4} + n ^{2}} - \left( 2 n ^{2} + \frac{1}{2} \right) \right\}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{( \sqrt{4 n ^{4} + n ^{2}} ) ^{2} - \left( 2 n ^{2} + \frac{1}{2} \right) ^{2}}{\sqrt{4 n ^{4} + n ^{2}} + \left( 2 n ^{2} + \frac{1}{2} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{- n ^{2} - \frac{1}{4}}{\sqrt{4 n ^{4} + n ^{2}} + \left( 2 n ^{2} + \frac{1}{2} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{- 1 - \frac{1}{4 n ^{2}}}{\sqrt{4 + \frac{1}{n ^{2}}} + \left( 2 + \frac{1}{2 n ^{2}} \right)}$ $\displaystyle = - \frac{1}{4}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\mathrm{(} {\overline{OP}} - {\overline{OQ}} ) = - \frac{1}{4}}$이다.