선분 길이 차 극한

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$이 곡선 $y = 2 ^{x}$ 위에 있으므로 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} ( \mathit{\log} _{2} n , n )$이다. 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$의 좌표를 $( b _{n} , n )$이라 하면 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$이 곡선 $y = 2 ^{x - 1}$위의 점이므로 $2 ^{b _{n} - 1} = n$이다. $b _{n} - 1 = \log _{2} n$, $b _{n} = 1 + \log _{2} n = \log _{2} 2 n$ ∴ $\mathrm{B} _{\mathit{n}} ( \mathit{\log} _{2} 2 n , n )$ 또, 점 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$이 곡선 $y = 2 ^{x}$위에 있으므로 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} ( \mathit{\log} _{2} 2 n , 2 n )$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}} \mathit{=} 1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}} \mathit{=} 2 n - n = n$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}} \mathit{=} \sqrt{n ^{2} + 1}$이다. ∴ $\displaystyle f ( n ) = \sqrt{n ^{2} + 1}$, $g ( n ) = n$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n \left\{ f ( n ) - g ( n ) \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n \left( \sqrt{n ^{2} + 1} - n \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n \left( \sqrt{n ^{2} + 1} - n \right) \left( \sqrt{n ^{2} + 1} + n \right)}{\left( \sqrt{n ^{2} + 1} + n \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n}{\sqrt{n ^{2} + 1} + n}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}} + 1}$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$