선분 길이 비의 극한

[출제의도] 곡선위의 두 점 사이의 거리를 구한 후 극한값을 구할 수 있는가? $\mathrm{P} _{\mathit{n}} ( 4 ^{\mathit{n}} , 2 ^{\mathit{n}} )$, $\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1} ( 4 ^{\mathit{n} + 1} , 2 ^{\mathit{n} + 1} )$ $\displaystyle L _{n} = \sqrt{( 4 ^{n + 1} - 4 ^{n} ) ^{2} + ( 2 ^{n + 1} - 2 ^{n} ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{( 3 \times 4 ^{n} ) ^{2} + ( 2 ^{n} ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{9 \times 16 ^{n} + 4 ^{n}}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{L _{n + 1}}{L _{n}} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{\sqrt{9 \times 16 ^{n + 1} + 4 ^{n + 1}}}{\sqrt{9 \times 16 ^{n} + 4 ^{n}}} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{9 \times 16 ^{n + 1} + 4 ^{n + 1}}{9 \times 16 ^{n} + 4 ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{9 \times 16 + 4 \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{n}}{9 + \left( \frac{1}{4} \right) ^{n}}}$ $\displaystyle = \frac{9 \times 16 + 4 \times 0}{9 + 0} = 16$