미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

세제곱합 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 an−4an+3=13+23+⋯+n3n4+1\displaystyle \frac{a _{n} - 4}{a _{n} + 3} = \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + \cdots + n ^{3}}{n ^{4} + 1} 이 성립할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} 의 값은? [3점] ①163\displaystyle \frac{16}{3}②173\displaystyle \frac{17}{3}③66④193\displaystyle \frac{19}{3}⑤203\displaystyle \frac{20}{3}

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④

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해설

lim⁡n→∞an−4an+3=lim⁡n→∞13+23+…+n3n4+1=lim⁡n→∞(n(n+1)2)21n4+1=14\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} - 4}{a _{n} + 3} & = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + \ldots + n ^{3}}{n ^{4} + 1} \\ \\ & = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{n ( n + 1 )}{2} \right) ^{2} \frac{1}{n ^{4} + 1} = \frac{1}{4} \end{aligned} 이므로 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \alpha라 하면 α−4α+3=14\displaystyle \frac{\alpha - 4}{\alpha + 3} = \frac{1}{4} ∴α=193\displaystyle \therefore \alpha = \frac{19}{3}

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#수열의 극한#세제곱합

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