공통수학2원의 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

세 원 한 점 증명

문제

다음은 삼각형ABC\mathrm{ABC}의 각 꼭짓점을 지나는 원에 대한 어떤 성질을 증명한 것이다. [증명]

그림처럼 세 점A,D,F\mathrm{A} , D , F를 지나는 원 C1C _{1}과 세 점 B,D,E\mathrm{B} , D , E를 지나는 원C2C _{2}의 교점P\mathrm{P}가 삼각형ABC\mathrm{ABC}의 내부에 존재하도록 세 변 AB,BC,CA\mathrm{AB} , BC , CA 위에 각각 점D,E,F\mathrm{D} , E , F를 잡는다. ∠DPF+□(가)\mathrm{\angle} DPF + {\square {( \text{가} )}} =180∘= 180 ^\circ ∠DPE+□(나)\mathrm{\angle} DPE + {\square {( \text{나} )}} =180∘= 180 ^\circ 이므로 ∠DPF+∠DPE=360∘−(□(가)+□(나))\mathrm{\angle} DPF + \angle DPE = 360 ^\circ - \left( {\square {( \text{가} )}} + {\square {( \text{나} )}} \right) 에서 ∠FPE=□(가)+□(나)\mathrm{\angle} FPE = {\square {( \text{가} )}} + {\square {( \text{나} )}} ∴∠FPE+∠C=180∘\mathrm{\angle} FPE + \angle C = 180 ^\circ 따라서 세 점 C,F,E\mathrm{C} , F , E를 지나는 원을 C3C _{3}라 할 때, □(다){\square {( \text{다} )}}

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①∠A\mathrm{\angle} A ∠B\mathrm{\angle} B 세 원 C1C _{1}, C2C _{2}, C3C _{3}는 한 점P\mathrm{P}에서 만난다.②∠B\mathrm{\angle} B ∠A\mathrm{\angle} A 세 원 C1C _{1}, C2C _{2}, C3C _{3}는 한 점P\mathrm{P}에서 만난다.③∠A\mathrm{\angle} A ∠B\mathrm{\angle} B 원C3C _{3}의 내부에 점P\mathrm{P}가 존재한다.④∠B\mathrm{\angle} B ∠A\mathrm{\angle} A 원C3C _{3}의 내부에 점P\mathrm{P}가 존재한다.⑤∠A\mathrm{\angle} A ∠B\mathrm{\angle} B 원C3C _{3}의 외부에 점P\mathrm{P}가 존재한다.

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①

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해설

[출제 의도] 평면도형의 성질을 이용하여 완성형의 증명을 할 수 있다. □ADPF\mathrm{\square} ADPF에서 ∠DPF+∠A=180∘\mathrm{\angle} DPF + \angle A = 180 ^\circ □BEPD\mathrm{\square} BEPD에서 ∠DPE+∠B=180∘\mathrm{\angle} DPE + \angle B = 180 ^\circ 따라서 ∠DPF+∠DPE=360∘−(∠A+∠B)\mathrm{\angle} DPF + \angle DPE = 360 ^\circ - ( \angle A + \angle B ) ∠FPE=∠A+∠B\mathrm{\angle} FPE = \angle A + \angle B ∴∠FPE+∠C=180∘\mathrm{\angle} FPE + \angle C = 180 ^\circ 따라서 세 점 C,F,E\mathrm{C} , F , E를 지나는 원을 C3C _{3}라 할 때, 세 원 C1C _{1}, C2C _{2}, C3C _{3}는 한 점 P\mathrm{P}에서 만난다.

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