중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

세 수의 분산

문제

a2+b2+c2=7a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 7을 만족시키는 실수 a,b,ca , b , c에 대하여 세 수 a+ba + b, b+cb + c, c+ac + a의 평균은 43\displaystyle \frac{4}{3}, 분산은 nm\displaystyle \frac{n}{m}이다. 이 때, m+nm + n의 값을 구하시오. (단, mm, nn은 서로 소이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 평균과 분산 구하기 (평균)=(a+b)+(b+c)+(c+a)3=43\displaystyle = \frac{( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a )}{3} = \frac{4}{3} ∴a+b+c=2\therefore a + b + c = 2 (분산)=(a+b−43)2+(b+c−43)2+(c+a−43)23\displaystyle = \frac{\left( a + b - \frac{4}{3} \right) ^{2} + \left( b + c - \frac{4}{3} \right) ^{2} + \left( c + a - \frac{4}{3} \right) ^{2}}{3} =(23−c)2+(23−a)2+(23−b)23\displaystyle = \frac{\left( \frac{2}{3} - c \right) ^{2} + \left( \frac{2}{3} - a \right) ^{2} + \left( \frac{2}{3} - b \right) ^{2}}{3} =a2+b2+c2−43(a+b+c)+433\displaystyle = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - \frac{4}{3} ( a + b + c ) + \frac{4}{3}}{3} =7−2×43+433=179=nm\displaystyle = \frac{7 - 2 \times \frac{4}{3} + \frac{4}{3}}{3} = \frac{17}{9} = \frac{n}{m} ∴m+n=26\therefore m + n = 26

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#분산#곱셈공식#중학

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