산술평균 수열의 극한

Ⅰ. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n + 1}{2} = \infty$이므로 발산한다. Ⅱ. $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n}}}{n}$$\displaystyle = \frac{\lim\limits _{n\rightarrow \infty {\frac{\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}}{1 - \frac{1}{2}}}}}{n}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}{n} = 0$이므로 수렴한다. Ⅲ. $\displaystyle a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{n} = {\begin{cases} 0 & ( n \text{이} \text{짝수} ) \\ - 1 & ( n \text{이} \text{홀수} ) \end{cases}}$ ⅰ) $n$이 짝수인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n}}{n}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{0}{n} = 0$ ⅱ) $n$이 홀수인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n}}{n}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{- 1}{n} = 0$ ⅰ), ⅱ)에 의하여 $0$으로 수렴한다. 따라서 극한값이 존재하는 것은 Ⅱ, Ⅲ이다.