상자 던지기 조건부확률

[출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제 해결하기 정육면체 모양의 상자를 한 번 던져 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수가 각각 $1$, $2$일 확률은 각각 $\displaystyle \frac{1}{3}$, $\displaystyle \frac{2}{3}$이다. $a _{1} + a _{2} + a _{3} > a _{4} + a _{5} + a _{6}$일 사건을 $A$, $a _{1} = a _{4} = 1$일 사건을 $B$라 하자. $a _{1} + a _{2} + a _{3} > a _{4} + a _{5} + a _{6} \geq 3$ (Ⅰ) $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 4$인 경우 $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 4$일 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right)$ $a _{4} + a _{5} + a _{6} = 3$일 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} = \frac{1}{3 ^{3}}$ 그러므로 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) \times \frac{1}{3 ^{3}} = \frac{6}{3 ^{6}}$ (Ⅱ) $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 5$인 경우 $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 5$일 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$ $3 \leq a _{4} + a _{5} + a _{6} \leq 4$일 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} + _{3} C _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) \mathit{=} \frac{7}{3 ^{3}}$ 그러므로 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \times \frac{7}{3 ^{3}} = \frac{84}{3 ^{6}}$ (Ⅲ) $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 6$인 경우 $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 6$일 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{3}$ $3 \leq a _{4} + a _{5} + a _{6} \leq 5$일 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} + _{3} C _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) + _{3} C _{2} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} = \frac{19}{3 ^{3}}$ 그러므로 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} \times \frac{19}{3 ^{3}} = \frac{152}{3 ^{6}}$ (Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{A} \right) \mathit{=} \frac{6}{3 ^{6}} + \frac{84}{3 ^{6}} + \frac{152}{3 ^{6}} = \frac{242}{3 ^{6}}$ $a _{1} = a _{4} = 1$이면 $a _{2} + a _{3} > a _{5} + a _{6} \geq 2$이다. (ⅰ) $a _{1} = a _{4} = 1$이고 $a _{2} + a _{3} = 3$인 경우 $a _{1} = a _{4} = 1$일 확률은 $\displaystyle {} _{2} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{2}$ $a _{2} + a _{3} = 3$일 확률은 $\displaystyle {} _{2} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \mathit{=} \frac{4}{3 ^{2}}$ $a _{5} + a _{6} = 2$일 확률은 $\displaystyle {} _{2} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{2}$ 그러므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \times \frac{4}{3 ^{2}} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} = \frac{4}{3 ^{6}}$ (ⅱ) $a _{1} = a _{4} = 1$이고 $a _{2} + a _{3} = 4$인 경우 $a _{1} = a _{4} = 1$일 확률은 $\displaystyle {} _{2} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{2}$ $a _{2} + a _{3} = 4$일 확률은 $\displaystyle {} _{2} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$ $2 \leq a _{5} + a _{6} \leq 3$일 확률은 $\displaystyle {} _{2} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} + _{2} C _{1} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \mathit{=} \frac{5}{3 ^{2}}$ 그러므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \times \frac{5}{3 ^{2}} = \frac{20}{3 ^{6}}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{A} \cap B \right) \mathit{=} \frac{4}{3 ^{6}} + \frac{20}{3 ^{6}} = \frac{24}{3 ^{6}}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{B} | A \right) \mathit{=} \frac{\mathrm{P} \left( \mathit{A} \cap B \right)}{\mathrm{P} \left( \mathit{A} \right)} = \frac{24}{242} = \frac{12}{121}$ 따라서 $p = 121$, $q = 12$이므로 $p + q = 133$