확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

상담 시간 표본평균

문제

어느 전화 상담원 $A$ 가 지난해 받은 상담 전화의 상담 시간은 평균이 $20$ 분, 표준편차가 $5$ 분인 정규분포를 따른다고 한다. 전화 상담원 $A$ 가 지난해 받은 상담 전화를 대상으로 크기가 $16$ 인 표본을 임의추출할 때, 상담 시간의 표본평균이 $19$ 분 이상이고 $22$ 분 이하일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

$z$	$P ( 0 \leq Z \leq z )$
$0.8$	$0.2881$
$1.2$	$0.3849$
$1.6$	$0.4452$
$2.0$	$0.4772$

① $0.6730$ ② $0.7333$ ③ $0.7653$ ④ $0.8301$ ⑤ $0.9224$

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②

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해설

문제에서 주어진 조건에서 상담 시간을 확률변수 $X$ 라고 하면 정규분포 $X : N ( 29 , 5 ^{2} )$ ...① 문제에서 크기가 16인 표본을 임의추출하므로 교과서 내용을 적용하여 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 는 정규분포 $\displaystyle \overline{X} : N \left( 29 , \left( \frac{5}{4} \right) ^{2} \right)$ ...② 문제에서 요구한 확률은 $\displaystyle P ( 19 \leq \overline{X} \leq 22 )$ 이며 $\displaystyle P ( 19 \leq \overline{X} \leq 22 )$ $\displaystyle = P \left( \frac{19 - 20}{\frac{5}{4}} \leq Z \leq \frac{22 - 20}{\frac{5}{4}} \right)$ $= P ( - 0.8 \leq Z \leq 1.6 )$ $= 0.2881 + 0.4452$ $= 0.7333$ ∴ $0.7333$

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