산책로 이동시간

주어진 그림에서 두 지점 A, B 사이의 거리를 $x$라 하자. 원의 반지름의 길이가 1이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}} = 1$이고, 점 D에서 선분 AE에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 DHE에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = \sqrt{\overline{\mathrm{DH}} ^{2} + \overline{\mathrm{HE}} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{1 + ( 5 - x ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{x ^{2} - 10 x + 26}$ 갑이 산책로 AB를 이동할 때 걸린 시간은 $\displaystyle \frac{x}{4}$, 원 모양의 산책로를 이동할 때 걸린 시간은 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\pi} = 2$, 산책로 BE를 이동할 때 걸린 시간은 $\displaystyle \frac{6 - x}{4}$이므로 갑이 출발 후 도착할 때까지 걸린 시간은 $\displaystyle \frac{x}{4} + 2 + \frac{6 - x}{4} = \frac{7}{2}$ $\cdots$㉠ 을이 출발 후 도착할 때까지 이동한 거리는 $\displaystyle x + 2 + \sqrt{x ^{2} - 10 x + 26}$이므로 을이 출발 후 도착할 때까지 걸린 시간은 $\displaystyle \frac{x + 2 + \sqrt{x ^{2} - 10 x + 26}}{5}$ $\cdots$㉡ 갑이 을보다 2시간 늦게 도착하였으므로 ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{x + 2 + \sqrt{x ^{2} - 10 x + 26}}{5} = \frac{7}{2} - 2$ $\displaystyle 2 \sqrt{x ^{2} - 10 x + 26} = 11 - 2 x$ 양변을 제곱하면 $4 x ^{2} - 40 x + 104 = 4 x ^{2} - 44 x + 121$ $\displaystyle \therefore x = \frac{17}{4}$